涵盖数字与模拟信号、二进制与补码、布尔代数与德摩根、最小项与卡诺图化简等核心内容。
信号类型
- 数字信号：离散的、量化的信号
- 模拟信号：连续的、无限精度的信号
二进制数制
基本概念
- 诞生原因：$0$ 和 $1$ 在计算机内部易于处理
- 表示方法：符号位 + 数值位
数制转换
权重展开法
方法主要基于理解：任意进制数都可以用权重展开的形式表示：
$$N = \sum_{i=-m}^{n-1} a_i \times r^i$$
其中：
- $a_i$ 为第 $i$ 位的数字
- $r$ 为进制基数
- $n$ 为整数位数
- $m$ 为小数位数
常见进制转换
- 二进制 $(2)$ ↔ 八进制 $(8)$ ↔ 十六进制 $(16)$ ↔ 十进制 $(10)$
小数乘、整数除
二进制运算
基本运算
- 加法、减法、乘法、除法
负数表示 - 补码
由于计算机内部构建的简化需求，所有运算都使用加法实现。
补码数值上：符号位不变，其他位取反加一
补码理解：
- 类比时钟：从 $10$ 点到 $5$ 点
- 正向：$+7$ 小时
- 反向：$-5$ 小时
- 因此 $+7$ 和 $-5$ 互为补码
补码性质：
$$5 + 7 = 12 = 2^n \text{（码制可表示的最大值）}$$
补码运算示例（以5位二进制为例）：
- $(-1) + 7$：通过忽略进位，符号位变为 $0$
- $(-12) + 5$：正常运算
二进制编码十进制 (BCD)
- 各种编码方式
- 格雷码：减少过渡噪声，相邻码字只有一位不同
逻辑运算
基本运算符
逻辑变量和逻辑函数
逻辑运算与集合运算的对应关系：
- 与运算 (AND)：$A \cdot B$ 或 $A \land B$，对应集合的交运算
- 或运算 (OR)：$A + B$ 或 $A \lor B$，对应集合的并运算
- 非运算 (NOT)：$\overline{A}$ 或 $\neg A$，对应集合的补运算
电路符号表示
- 与门：$&$ 符号
- 或门：$\geq 1$ 符号
- 非门：输出端加 $\circ$ 符号
另一种符号表示：与或非越来越尖
其他逻辑运算
- 异或 (XOR)：$A \oplus B$，当且仅当 $A \neq B$ 时为真
- 同或 (XNOR)：$A \odot B$，当且仅当 $A = B$ 时为真
异或与同或的关系：
$$A \odot B = \overline{A \oplus B}$$
运算公式
基本定律
- 交换律：$A + B = B + A$，$A \cdot B = B \cdot A$
- 结合律：$(A + B) + C = A + (B + C)$，$(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$
- 分配律：$A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$，$A + (B \cdot C) = (A + B) \cdot (A + C)$
德摩根定理
$$\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$$
$$\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$$
异或和同或公式
- $A \oplus B = A\overline{B} + \overline{A}B$
- $A \odot B = A B + \overline{A},\overline{B}$
逻辑函数与最小项
最小项定义
最小项 (Minterm)：由 $n$ 个逻辑变量构成的与项，每个变量都出现且只出现一次（原变量或反变量形式）。
最小项性质
- 数量：$n$ 个变量有 $2^n$ 个最小项
- 唯一性：对于逻辑变量的一组固定输入，只有一个最小项为1
- 编码：可以对最小项进行二进制编码，对应十进制数
- 正交性：任意两个不同最小项的乘积为 $0$
逻辑函数的标准形式
由于最小项的正交性，最小项可以作为逻辑函数的基：
$$f(A,B,C,\ldots) = \sum m_i$$
其中 $m_i$ 表示使函数值为 $1$ 的最小项。
标准型推导：利用 $A + \overline{A} = 1$ 的性质可以得到标准型。
逻辑函数化简
化简目标
逻辑函数的最简与或式：
- 乘积项数最少
- 每个乘积项中的变量数最少
化简方法
1. 公式法
利用布尔代数的基本定律和定理进行化简。
2. 卡诺图法 (Karnaugh Map)
卡诺图结构
00 01 11 10
00
01
11
10
格雷码排列：相邻位置只有一个变量不同
卡诺图特点：
- 相邻性：物理相邻的最小项只有一个变量不同，最左和最右、最上和最下也相邻
- 化简原理：相邻的可以合并，消去不同的变量
化简步骤：
- 将逻辑函数的最小项在卡诺图中标为 $1$
- 找出相邻的 $1$，进行合并
- 四个相邻的 $1$ 可以消去两个变量
最大项
最大项 (Maxterm)：由 $n$ 个逻辑变量构成的或项，每个变量都出现且只出现一次。
最大项与最小项具有对偶关系：
$$M_i = \overline{m_i}$$
本文遵循非商业性使用-国际署名 许可协议，转载请说明。
